📑 题目：115. 不同的子序列

📑 题目：115. 不同的子序列

题目大意

给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。

解题思路

在字符串 s 中最多包含多少个字符串 t。这里面包含很多重叠子问题，所以尝试用动态规划解决这个问题。定义 dp[i][j] 代表 s[i:] 的子序列中 t[j:] 出现的个数。初始化先判断边界条件。当 i = len(s) 且 0≤ j < len(t) 的时候，s[i:] 为空字符串，t[j:] 不为空，所以 dp[len(s)][j] = 0。当 j = len(t) 且 0 ≤ i < len(s) 的时候，t[j:] 不为空字符串，空字符串是任何字符串的子序列。所以 dp[i][n] = 1。
当 i < len(s) 且 j < len(t) 的时候，如果 s[i] == t[j]，有 2 种匹配方式，第一种将 s[i] 与 t[j] 匹配，那么 t[j+1:] 匹配 s[i+1:] 的子序列，子序列数为 dp[i+1][j+1]；第二种将 s[i] 不与 t[j] 匹配，t[j:] 作为 s[i+1:] 的子序列，子序列数为 dp[i+1][j]。综合 2 种情况，当 s[i] == t[j] 时，dp[i][j] = dp[i+1][j+1] + dp[i+1][j]。
如果 s[i] != t[j]，此时 t[j:] 只能作为 s[i+1:] 的子序列，子序列数为 dp[i+1][j]。所以当 s[i] != t[j] 时，dp[i][j] = dp[i+1][j]。综上分析得：

[ dp[i][j] = left{egin{matrix}dp[i+1][j+1]+dp[i+1][j]&,s[i]=t[j]\ dp[i+1][j]&,s[i]!=t[j]end{matrix}
ight. ]
最后是优化版本。写出上述代码以后，可以发现填表的过程是从右下角一直填到左上角。填表顺序是从下往上一行一行的填。行内从右往左填。于是可以将这个二维数据压缩到一维。因为填充当前行只需要用到它的下一行信息即可，更进一步，用到的是下一行中右边元素的信息。于是可以每次更新该行时，先将旧的值存起来，计算更新该行的时候从右往左更新。这样做即可减少一维空间，将原来的二维数组压缩到一维数组。

代码

package leetcode
// 解法一 压缩版 DP
func numDistinct(s string, t string) int {
 dp := make([]int, len(s)+1)
 for i, curT := range t {
  pre := 0
  for j, curS := range s {
   if i == 0 {
    pre = 1
   }
   newDP := dp[j+1]
   if curT == curS {
    dp[j+1] = dp[j] + pre
   } else {
    dp[j+1] = dp[j]
   }
   pre = newDP
  }
 }
 return dp[len(s)]
}
// 解法二 普通 DP
func numDistinct1(s, t string) int {
 m, n := len(s), len(t)
 if m < n {
  return 0
 }
 dp := make([][]int, m+1)
 for i := range dp {
  dp[i] = make([]int, n+1)
  dp[i][n] = 1
 }
 for i := m - 1; i >= 0; i-- {
  for j := n - 1; j >= 0; j-- {
   if s[i] == t[j] {
    dp[i][j] = dp[i+1][j+1] + dp[i+1][j]
   } else {
    dp[i][j] = dp[i+1][j]
   }
  }
 }
 return dp[0][0]
}